Semilogaritmisk skala

Fakta

Kort definisjon

En semilogaritmisk skala er et koordinatsystem der den ene aksen er logaritmisk og den andre lineær. På standard celerasjonskart er y-aksen logaritmisk: lik avstand oppover betyr lik gangefaktor, slik at konstant vekstfaktor blir en rett linje.

Canis forklarer

Enkelt forklart

Huskeregelen er kort: y-aksen ganger, x-aksen plusser.

På en vanlig skala får «+1» like mange millimeter enten du går fra 2 til 3 eller fra 200 til 201 – som om de to framskrittene var like store. Det er de ikke, og du vet det intuitivt: én ny riktig i minuttet er en revolusjon for eleven på 2, og en avrundingsfeil for eleven på 200.

På den logaritmiske skalaen er det doblingen som får fast plass. Fra 1 til 2 er samme vertikale avstand som fra 10 til 20, som fra 100 til 200. En dobling er en dobling, uansett etasje.

Se hva det gjør med et datasett som dobler seg hver uke. På et lineært ark ser starten død ut og slutten eksplosiv, og du fristes til å tro at «det løsnet» i uke tre. På det halvlogaritmiske arket: én rak, rolig linje. Sannheten er den rake linjen – veksten var konstant hele tiden.

Og så bieffekten som er lettest å overse: eleven som går fra 2 til 4 og eleven som går fra 100 til 200 får samme vinkel og samme heder. Skalaen er, i tillegg til alt annet, chartets innebygde rettferdighet.

Fakta

Utfyllende faglig forklaring

Valget av logaritmisk y-akse løser et representasjonsproblem, ikke et regneproblem. Atferd endrer seg empirisk sett multiplikativt – i ganger og prosenter, som pengeplasseringer og bakteriekulturer – ikke i faste tillegg. En lineær akse tvinger multiplikativ vekst inn i en additiv framstilling, og resultatet er en kurve som ser ut til å akselerere selv når vekstfaktoren er helt konstant.

Tre konsekvenser følger, og de er grunnen til at valget er så vidtrekkende:

Konstant vekstfaktor gir rett linje. Det er dette som gjør celerasjon mulig å lese med øyet, tegne med linjal og forlenge som prognose. På en lineær akse ville en trendlinje for multiplikativ vekst vært en kurve, og hverken frihåndstegning eller vinkelavlesning hadde fungert.

Relative endringer får samme uttrykk overalt på arket. En dobling ser lik ut i kjelleren og på loftet. Uten den egenskapen kunne ikke data fra elever på vidt forskjellige nivåer sammenlignes – og hele grunnlaget for å lese flytmål ut av store chartbunker ville falt bort.

Lik sprett. whiteneely2012 s. 8 løfter fram dette som en designbonus: atferd med vilt ulike frekvenser spretter omtrent like mye på ratioskalaen. Aksjeindekser, skritt på balansebom og røykte sigaretter ser like urolige ut. Egenskapen er verdt å skille skarpt fra en beslektet, men annen observasjon: at lave frekvenser målt i korte vinduer spretter mer, fordi få forekomster gir stor samplingstøy. Det første er en egenskap ved visningen og et argument for skalaen; det andre er målestøy og et argument for lengre telletid. De to blandes lett sammen.

Null finnes ikke på skalaen. En logaritmisk akse har ingen nullpunkt, og det er grunnen til at en telling på null må håndteres med en egen konvensjon – se ingen-forekomst-markering.

En avlesningsdetalj som gjør skalaen lærbar: 1-linjen er chartets sentrum, og symmetrien rundt den er speilvendt. Tre sykluser opp er 1000 per minutt; tre sykluser ned er én per tusen minutter. Under 1-linjen bor sjeldenhetene – 0,1 er én per ti minutter, 0,01 én per hundre minutter – og over bor tempoferdighetene.

Anvendelse

Eksempel: hundetrening

En hund går fra 3 til 6 korrekte innkallinger i minuttet på tre uker; en annen fra 12 til 24. På et vanlig ark ser den andre ut til å ha lært fire ganger så mye. På det semilogaritmiske arket har de identiske linjer – begge doblet seg. Og det er den riktige lesningen: begge prosjektene går like fort, de startet bare på ulike steder.

Kontrasten er verdt å merke seg for den som trener flere hunder samtidig. Den lineære grafen gjør nybegynnerhunden til en hun aldri får skryt for. Den semilogaritmiske gir henne samme vinkel som stjernen på klubben.

Anvendelse

Eksempel: menneskelig læring

En elev leser 20 ord i minuttet og øker med to ord per uke. En annen leser 150 og øker med femten. På lineær skala er den andre eleven i en helt annen liga. På ratioskalaen er begge på ×1,1 – like sakte, og begge under minimumsstandarden. Skalaen avslører at den imponerende kurven ikke var imponerende.

Hva begrepet ikke betyr

Semilogaritmisk er ikke det samme som «logaritmisk». I et fullt logaritmisk diagram er begge akser logaritmiske; her er tidsaksen helt vanlig, fordi dager plusses.

Skalaen er heller ikke en datatransformasjon. Tallene er uendret – det er avstandene på arket som er skalert. Man leser fortsatt av frekvenser, ikke logaritmer.

Vanlige misforståelser

• «Logaritmisk skala skjuler hvor stor endringen egentlig er.» Den skjuler den absolutte endringen og viser den relative. Hvilken av dem som er «egentlig», avhenger av spørsmålet – og for læring over tid er den relative som regel den relevante.
• «Det er vanskelig matematikk.» Å plotte krever ingen regning. Man finner linjen tallet hører til, og setter punktet. Åtteåringer gjør det daglig.
• «Mellomlinjene er feiltrykt – de ligger ujevnt.» De klumper seg mot toppen av hver dekade fordi det er slik logaritmen ser ut. Det er signaturen, ikke en trykkfeil.

Kilder

• whiteneely2012
• born2022
• lindsley1992